\(\int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx\) [928]

Optimal result

Integrand size = 18, antiderivative size = 124 \[ \int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx=-\frac {c^2 (a+b x)^{1+n}}{2 a x^2}-\frac {c (4 a d-b c (1-n)) (a+b x)^{1+n}}{2 a^2 x}-\frac {\left (2 a^2 d^2+4 a b c d n-b^2 c^2 (1-n) n\right ) (a+b x)^{1+n} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,1+n,2+n,1+\frac {b x}{a}\right )}{2 a^3 (1+n)} \]

[Out]

-1/2*c^2*(b*x+a)^(1+n)/a/x^2-1/2*c*(4*a*d-b*c*(1-n))*(b*x+a)^(1+n)/a^2/x-1/2*(2*a^2*d^2+4*a*b*c*d*n-b^2*c^2*(1
-n)*n)*(b*x+a)^(1+n)*hypergeom([1, 1+n],[2+n],1+b*x/a)/a^3/(1+n)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.05 (sec) , antiderivative size = 124, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.167, Rules used = {91, 79, 67} \[ \int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx=-\frac {c (a+b x)^{n+1} (4 a d-b c (1-n))}{2 a^2 x}-\frac {(a+b x)^{n+1} \left (2 a^2 d^2+4 a b c d n-b^2 c^2 (1-n) n\right ) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,n+1,n+2,\frac {b x}{a}+1\right )}{2 a^3 (n+1)}-\frac {c^2 (a+b x)^{n+1}}{2 a x^2} \]

[In]

Int[((a + b*x)^n*(c + d*x)^2)/x^3,x]

[Out]

-1/2*(c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(a*x^2) - (c*(4*a*d - b*c*(1 - n))*(a + b*x)^(1 + n))/(2*a^2*x) - ((2*a^2*d^2 + 4
*a*b*c*d*n - b^2*c^2*(1 - n)*n)*(a + b*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(2*a^3*(1 +
n))

Rule 67

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(n + 1)/(d*(n + 1)*(-d/(b*c))^m))
*Hypergeometric2F1[-m, n + 1, n + 2, 1 + d*(x/c)], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && (Intege
rQ[m] || GtQ[-d/(b*c), 0])

Rule 79

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(-(b*e - a*f
))*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(f*(p + 1)*(c*f - d*e))), x] - Dist[(a*d*f*(n + p + 2) - b*(d*e*(n + 1
) + c*f*(p + 1)))/(f*(p + 1)*(c*f - d*e)), Int[(c + d*x)^n*(e + f*x)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
f, n}, x] && LtQ[p, -1] && ( !LtQ[n, -1] || IntegerQ[p] ||  !(IntegerQ[n] ||  !(EqQ[e, 0] ||  !(EqQ[c, 0] || L
tQ[p, n]))))

Rule 91

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(p_.), x_Symbol] :> Simp[(b*c - a*d
)^2*(c + d*x)^(n + 1)*((e + f*x)^(p + 1)/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1))), x] - Dist[1/(d^2*(d*e - c*f)*(n + 1)), In
t[(c + d*x)^(n + 1)*(e + f*x)^p*Simp[a^2*d^2*f*(n + p + 2) + b^2*c*(d*e*(n + 1) + c*f*(p + 1)) - 2*a*b*d*(d*e*
(n + 1) + c*f*(p + 1)) - b^2*d*(d*e - c*f)*(n + 1)*x, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && (LtQ
[n, -1] || (EqQ[n + p + 3, 0] && NeQ[n, -1] && (SumSimplerQ[n, 1] ||  !SumSimplerQ[p, 1])))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {c^2 (a+b x)^{1+n}}{2 a x^2}+\frac {\int \frac {(a+b x)^n \left (c (4 a d-b c (1-n))+2 a d^2 x\right )}{x^2} \, dx}{2 a} \\ & = -\frac {c^2 (a+b x)^{1+n}}{2 a x^2}-\frac {c (4 a d-b c (1-n)) (a+b x)^{1+n}}{2 a^2 x}+\frac {\left (2 a^2 d^2+b c (4 a d-b c (1-n)) n\right ) \int \frac {(a+b x)^n}{x} \, dx}{2 a^2} \\ & = -\frac {c^2 (a+b x)^{1+n}}{2 a x^2}-\frac {c (4 a d-b c (1-n)) (a+b x)^{1+n}}{2 a^2 x}-\frac {\left (2 a^2 d^2+4 a b c d n-b^2 c^2 (1-n) n\right ) (a+b x)^{1+n} \, _2F_1\left (1,1+n;2+n;1+\frac {b x}{a}\right )}{2 a^3 (1+n)} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.08 (sec) , antiderivative size = 94, normalized size of antiderivative = 0.76 \[ \int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx=-\frac {(a+b x)^{1+n} \left (a c (1+n) (b c (-1+n) x+a (c+4 d x))+\left (2 a^2 d^2+4 a b c d n+b^2 c^2 (-1+n) n\right ) x^2 \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,1+n,2+n,1+\frac {b x}{a}\right )\right )}{2 a^3 (1+n) x^2} \]

[In]

Integrate[((a + b*x)^n*(c + d*x)^2)/x^3,x]

[Out]

-1/2*((a + b*x)^(1 + n)*(a*c*(1 + n)*(b*c*(-1 + n)*x + a*(c + 4*d*x)) + (2*a^2*d^2 + 4*a*b*c*d*n + b^2*c^2*(-1
+ n)*n)*x^2*Hypergeometric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a]))/(a^3*(1 + n)*x^2)

Maple [F]

\[\int \frac {\left (b x +a \right )^{n} \left (d x +c \right )^{2}}{x^{3}}d x\]

[In]

int((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^3,x)

[Out]

int((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^3,x)

Fricas [F]

\[ \int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx=\int { \frac {{\left (d x + c\right )}^{2} {\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{3}} \,d x } \]

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2)*(b*x + a)^n/x^3, x)

Sympy [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1040 vs. \(2 (105) = 210\).

Time = 4.26 (sec) , antiderivative size = 1040, normalized size of antiderivative = 8.39 \[ \int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((b*x+a)**n*(d*x+c)**2/x**3,x)

[Out]

a**2*b**(n + 3)*c**2*n**3*(a/b + x)**(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2)
- 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - a**2*b**(n + 3)*c**2*n*(a/b + x)**(n + 1)
*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b
+ x)**2*gamma(n + 2)) - a**2*b**(n + 3)*c**2*n*(a/b + x)**(n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4
*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - a**2*b**(n + 3)*c**2*(a/b + x)**(n + 1)*gamma(n +
1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + 2*a*b*b**(n + 3
)*c**2*n**3*x*(a/b + x)**(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x
*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - a*b*b**(n + 3)*c**2*n**2*x*(a/b + x)**(n + 1)*gamma(n
+ 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 2*a*b*b**(n +
3)*c**2*n*x*(a/b + x)**(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*
gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + a*b*b**(n + 3)*c**2*x*(a/b + x)**(n + 1)*gamma(n + 1)/
(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - b**2*b**(n + 3)*c**
2*n**3*(a/b + x)**2*(a/b + x)**(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a*
*4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + b**2*b**(n + 3)*c**2*n*(a/b + x)**2*(a/b + x)**
(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b*
*2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - b**(n + 1)*d**2*n*(a/b + x)**(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1
)/(a*gamma(n + 2)) - b**(n + 1)*d**2*(a/b + x)**(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n
+ 2)) - 2*b**(n + 2)*c*d*n*(a/b + x)**(n + 1)*gamma(n + 1)/(a*b*x*gamma(n + 2)) - 2*b**(n + 2)*c*d*(a/b + x)**
(n + 1)*gamma(n + 1)/(a*b*x*gamma(n + 2)) - 2*b**(n + 2)*c*d*n**2*(a/b + x)**(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n
+ 1)*gamma(n + 1)/(a**2*gamma(n + 2)) - 2*b**(n + 2)*c*d*n*(a/b + x)**(n + 1)*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*ga
mma(n + 1)/(a**2*gamma(n + 2))

Maxima [F]

\[ \int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx=\int { \frac {{\left (d x + c\right )}^{2} {\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{3}} \,d x } \]

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^3, x)

Giac [F]

\[ \int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx=\int { \frac {{\left (d x + c\right )}^{2} {\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{3}} \,d x } \]

[In]

integrate((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^3, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^3} \, dx=\int \frac {{\left (a+b\,x\right )}^n\,{\left (c+d\,x\right )}^2}{x^3} \,d x \]

[In]

int(((a + b*x)^n*(c + d*x)^2)/x^3,x)

[Out]

int(((a + b*x)^n*(c + d*x)^2)/x^3, x)